Чему равны координаты вершины параболы. Как найти вершину параболы и построить ее

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Чтобы найти координаты вершины параболы , воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в квадрате, а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1-3).

Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Так как вершина параболы , независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

Попробуйте найти вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим расстояние между точками пополам: х=(Iх1-х2I)/2.

Если какой-либо из коэффициентов равен нулю (кроме а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Например, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0-с). Если же не только коэффициент b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0-0).

В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

Общий вид

В общем виде имеет следующую структуру:

В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.

Д=3 2 -4*1*2=1;

а 1 =(-3-1)/2*1=-2;

а 2 =(-3+1)/2*1=-1.

При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

x+7=-2 и x+7=-1;

Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

где х вп - это значение х-координаты искомой точки.

Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

Находим значение х-координаты для вершины параболы:

х вп =-b/2a=-3/2*1;

Находим значение у-координаты для вершины параболы:

у=2х 2 +4х-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).

Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное - это произвести правильные расчеты координат точек.

Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке - вверх.

Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

где Д - это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

x 1 =(-b+V - Д)/2a

x 2 =(-b-V - Д)/2a

Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

После этого отмечаем на вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

График функции y = ax 2 + bx + c, где a - первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0 .

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x 2 –6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина - точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

Правильно находите коэффициенты .

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Параболой является график квадратичной функции. Данная линия обладает весомым физическим значением. Для того чтобы легче было найти вершину параболы, нужно ее нарисовать. Тогда на графике с легкостью можно будет увидеть ее вершину. Но чтобы построить параболу, необходимо знать, как найти точки параболы и как найти координаты параболы.

Находим точки и вершину параболы

В общем представлении квадратичная функция имеет следующий вид: y = ax 2 + bx + c. Графиком данного уравнения является парабола. При значении а › 0, ее ветви направлены вверх, а при значении а ‹ 0 – вниз. Для построения параболы на графике необходимо знать три точки, если она проходит вдоль оси ординат. В противном случае, должно быть известно четыре точки построения.

При нахождении абсциссы (х) необходимо взять коэффициент при (х) из заданной формулы многочлена, а затем разделить на удвоенный коэффициент при (x 2), после чего умножить на число – 1.

Для того чтобы найти ординату необходимо найти дискриминант, затем умножить его на – 1, после чего разделить на коэффициент при (x 2), предварительно умножив его на 4.

Далее, подставляя численные значения, вычисляется вершина параболы. Для всех расчетов желательно использовать инженерный калькулятор, а при черчении графиков и парабол пользоваться линейкой и люмографом, это позволит значительно повысить точность ваших расчетов.

Рассмотрим следующий пример, который поможет нам понять, как найти вершину параболы.

x 2 -9=0. В данном случае координаты вершины рассчитываются следующим образом: точка 1 (-0/(2*1); точка 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Таким образом, координатами вершины являются значения (0; 9).

Находим абсциссу вершины

После того, как вы узнали, как найти параболу, и можете рассчитать точки ее пересечения с осью координат (х), можно легко вычислить абсциссу вершины.

Пусть (x 1) и (х 2) являются корнями параболы. Корни параболы – это точки ее пересечения с осью абсцисс. Данные значения обращают в ноль квадратное уравнение следующего вида: ax 2 + bx + c.

При этом |x 2 | > |x 1 |, значит вершина параболы расположена посередине между ними. Таким образом, ее можно найти по следующему выражению: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Находим площадь фигуры

Для нахождения площади фигуры на координатной плоскости нужно знать интеграл. А чтобы применить его, достаточно знать определенные алгоритмы. Для того чтобы найти площадь, ограниченную параболами, необходимо произвести ее изображение в декартовой системе координат.

Вначале, по описанному выше методу, определяется координата вершины оси (х), затем оси (у), после чего находится вершина параболы. Теперь следует определить пределы интегрирования. Как правило, они указываются в условии задачи при помощи переменных (а) и (b). Данные значения следует поместить в верхнюю и нижнюю части интеграла соответственно. Далее следует вписать в общем виде значение функции и умножить его на (dx). В случае с параболой: (x 2)dx.

Затем нужно вычислить в общем виде первообразное значение функции. Для этого следует воспользоваться специальной таблицей значений. Подставляя туда пределы интегрирования, находится разность. Данная разность и будет являться площадью.

В качестве примера рассмотрим систему уравнений: у = x 2 +1 и х+у=3.

Находятся абсциссы точек пересечения: х 1 =-2 и х 2 =1.

Полагаем, что у 2 =3, а у 1 =x 2 + 1, подставляем значения в вышеприведенную формулу и получаем значение равное 4,5.

Теперь мы узнали как найти параболу, а также, основываясь на этих данных, рассчитать площадь фигуры, которую она ограничивает.

Содержимое:

Вершина параболы – это самая высокая или самая низкая ее точка. Чтобы найти вершину параболы, вы можете воспользоваться специальной формулой или методом дополнения до полного квадрата. Ниже описано, как это сделать.

Шаги

1 Формула для нахождения вершины

1. 1 Найдите величины a, b, и c. В квадратном уравнении коэффициент при x 2 = a, при x = b, постоянная (коэффициент без переменной) = c. Например, возьмем уравнение: y = x 2 + 9x + 18. Здесь a = 1, b = 9, and c = 18.
2. 2 Воспользуйтесь формулой для вычисления значения координаты x вершины. Вершина также является точкой симметрии параболы. Формула для нахождения координаты x параболы: x = -b/2a. Подставьте в нее соответствующие значения для вычисления x .
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Подставьте найденное значение x в исходное уравнение для вычисления значения y. Теперь, когда вам известно значение x, просто подставьте его в исходное уравнение для нахождения y. Таким образом, формулу для нахождения вершины параболы можно записать в виде функции: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)] . Это значит, что для нахождения y необходимо сначала найти x по формуле, а затем подставить значение x в исходное уравнение. Вот как это делается:
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 - 162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 Запишите значения x и y в виде пары координат. Теперь, когда вам известно, что x = -9/2, а y = -9/4, запишите их как координаты в виде: (-9/2, -9/4). Вершина параболы находится по координатам (-9/2, -9/4). Если вам нужно нарисовать эту параболу, то ее вершина лежит в нижней точке, так как коэффициент при x 2 положительный.

2 Дополнение до полного квадрата

1. 1 Запишите уравнение. Дополнение до полного квадрата – еще один способ найти вершину параболы. Применив этот метод, вы найдете координаты x и y сразу, без необходимости подставлять x в исходное уравнение. Например, дано уравнение: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Разделите каждый коэффициент на коэффициент при x 2 . В нашем случае коэффициент при x 2 равен 1, поэтому мы можем пропустить этот шаг. Деление на 1 ничего не изменит.
3. 3 Перенесите постоянную в правую часть уравнения. Постоянная – коэффициент без переменной. Здесь это "1". Перенесите 1 вправо путем вычитания 1 из обеих частей уравнения. Вот как это сделать:
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Дополните до полного квадрата левую часть уравнения. Для этого просто найдите (b/2) 2 и прибавьте результат к обеим частям уравнения. Подставьте "4" вместо b , так как "4x" – это коэффициент b нашего уравнения.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Теперь прибавьте 4 к обеим частям уравнения и получите:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Упрощаем левую часть уравнения. Мы видим, что x 2 + 4x + 4 – полный квадрат. Он может быть записан в виде: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Используйте его для нахождения координат x и y. Вы можете найти x, просто приравняв (x + 2) 2 к 0. Теперь, когда (x + 2) 2 = 0, вычисляем x: x =-2. Координата y – это постоянная в правой части полного квадрата. Итак, y = 3. Вершина параболы уравнения x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Правильно определяйте a, b, и c.
• Записывайте предварительные вычисления. Это не только поможет в процессе работы, но и позволит увидеть, где сделаны ошибки.
• Не нарушайте порядок вычислений.

Предупреждения

• Проверьте ваш ответ!
• Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить коэффициента a, b, и c. Если вы не знаете, ответ будет неправильным.
• Не – решение таких задач требует практики.