Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.
Число n A называется частотой события А , а отношение
называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.
Свойства относительной частоты
Относительная частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.
2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.
3. Частота достоверного события равна 1, т.е.
4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то
Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .
Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .
Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.
Согласно данному определению
Свойства статистической вероятности
1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.
2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.
3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.
4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то
Классическое определение вероятности
Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .
Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.
Свойства «классической» вероятности
1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.
Р (А ) ≥ 0.
2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:
3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то
Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).
Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:
Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:
Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .
При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.
1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.
2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.
3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.
6. Следуя классическому определению вероятности, определить
При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.
Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).
Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.
МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).
Исход испытания – возможный результат испытания.
Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).
НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.
Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.
ВИДЫ СОБЫТИЙ:
1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.
2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.
3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.
НАПР., Подбрасывается игральный кубик.
Событие А – число очков не > 6: достоверное.
Событие В – число очков > 6: невозможное.
Событие С – от 1 до 6: случайное.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.
НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.
2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.
НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.
Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.
Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.
НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.
Все соединения делятся на 3 группы:
1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m () называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.
Аnm = n!/(n-m)!
Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.
А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12
2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)
С из n по m = n!/m!*(n-m)!
Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.
C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.
3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.
Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.
ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).
СВОЙСТВА В-ТИ:
1) В-ть достоверного события = 1.
Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.
P(D) = m/n = n/n = 1/
2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.
P(D) = m/n = 0/n = 0/
3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0 0 Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1. Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний. В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после. УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты. Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A). СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относительная частота события А определяется формулой где m - число появлений события, n-общее число испытаний. Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта͵ а относительную частоту - после опыта. Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало {тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в случае если опытным путем установлена относительная частота͵ то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности. Пример 1. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления ʼʼгербаʼʼ. Результаты нескольких опытов приведены в табл. Относит.частоты незначит. Отклоняются от числа 0,5, причём чем меньше, чем больше число испытаний. В случае если учесть, что вер-ть появления ʼʼГʼʼ при бросании монеты=0,5, то вновь убеждаемся, что относит. Частота колеблется около вер-ти. Наиболее слабая сторона классич. Опр-я вер-ти состоит в том, что оч.часто невозможно представить результат испытания в виде сов-ти элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элемент.соб-я равновозможными. По этой причине наряду с классич. Определением вер-ти используют и др. При этом и опр-е статистич.вер-ти имеет свои ʼʼ-ʼʼ. К примеру, неоднозначность статистич.вер-ти. Так в рассмотренном примере в кач-ве вер-ти события можно принять не только 0,5, но и 0,5069, и 0,5016 и т.д. Понятие ʼʼгеометрическая вер-ть
ʼʼ сост. в след: Путь в область G бросается наудачу точка. Выражение ʼʼбросается наудачуʼʼ принято понимать в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области G. Вер-ть попасть в какую-л. часть области G пропорциональна мере этой части (длина, площадь, объём) и не зависит от ее расположения и формы. Т.о. если g – часть области G, то вер-ть попадания в обл-ть g по определению= Р(g)= мера g/мераG. Заметим, что здесь пр-во Ω всех элементарных исходов представляет собой сов-ть всех точек области G и значит состоит из бесконечного множества элементарных событий=>понятие ʼʼгеом. Вер-тьʼʼ можно рассматривать как обобщение понятия ʼʼклассич. Вер-тьʼʼ на случай опытов с бесконечным числом исходов. Задача о встрече
. Реш-е: Обозначим через х и у моменты прихода лиц А и В. Встреча состоится, в случае если |х-у|≤10. В случае если изображать х и у как декартовы координаты на пл-ти, то все возможные исходы изобразятся точкой квадрата со сторонами 60. 10≤у-х≤10 Задача Бюффона
. Реш-е: введём обозначения: х – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели; φ – угол, составляющий этой параллелью с иглой. Положение иглы полностью опр-ся заданными определенными значениями х и φ. Причем х Є(0;а), φЄ(0;π). Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и π. Т.о. данный прямоугольник можно рассмотреть как фигуру G, точки к-рой представляют из себявсе возможные положения середины иглы. Очевидно, эта площадь фигуры = πа. Найдём фигуру g, каждая точка к-рой благоприятствует интересующему нас событию, ᴛ.ᴇ. каждая точка фигуры может служить серединой иглы, к-рая пересекает параллель. Игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии: х≤l·sinφ Т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис(2). Т.о. заштрихованную фигуру можно рассматривать как g. Найдём её площадь: Ответ: 2l/аπ Относительная частота. Устойчивость относительной частоты - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Относительная частота. Устойчивость относительной частоты" 2017, 2018. Известно, что случайное событие вследствие испытания может произойти или не произойти. Но при этом для разных событий в одном и том же испытании существуют разные возможности. Давайте разберём пример. Если в урне сто тщательно перемешанных одинаковых шариков, причем среди них лишь десять черных, а остальные - белые, то при извлечении наугад одного шарика больше возможностей, что появится имеет именно белый. Возможность появления того или иного события в данном испытании имеет численную меру, которая называется вероятностью этого события и согласно теории вероятностей, можно посчитать, каков же шанс увидеть чёрный или белый шар. Предположим, что при проведении определенного испытания возможно появление $n$ элементарных равновозможных событий. Из этого количества число $m$ - это количество тех элементарных событий, которые благоприятствуют появлению определенного события $A$. Тогда вероятностью события $A$ называется отношение $P\left(A\right)=\frac{m}{n} $. Пример № 1.
В урне 3 белых и 5 черных шариков, которые отличаются лишь цветом. Испытание заключается в том, что из урны наугад вынимают один шарик. Событием $A$ считаем "появление белого шарика". Вычислить вероятность события $A$. При испытании можно извлечь любой из восьми шариков. Все эти события являются элементарными, поскольку они несовместны и образуют полную группу. Понятно также, что все эти события - равновозможны. Итак, для вычисления вероятности $P\left(A\right)$ можно применить классическое ее определение. Как решение имеем: $n=8$, $m=3$, а вероятность извлечь из шаров именно белый будет равна $P\left(A\right)=\frac{3}{8} $. Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Таким образом, в общем случае вероятность любого события удовлетворяет неравенству $0\le P\left(A\right)\le 1$. Определение 1
Предположим, что выполняется довольно большое количество испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти определенное событие $A$. Такие испытания называют серией испытаний. Предположим, что проведена серия из $n$ испытаний, в которых событие $A$ состоялось $m$ раз. Здесь число $m$ называют абсолютной частотой события $A$, а отношение $\frac{m}{n} $ называют относительной частотой события $A$. Например, из $n=20$ использованных во время пожара огнетушителей не сработали (событие $A$) $m=3$ огнетушителя. Здесь $m=3$ - абсолютная частота события $A$, а $\frac{m}{n} =\frac{3}{20} $ - относительная. Практический опыт и здравый смысл подсказывают, что при малых $n$ значения относительной частоты не могут быть устойчивыми, но если количество испытаний увеличивать, то значения относительной частоты должны стабилизироваться. Пример № 2.
Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика, образующих костяк команды, должны войти в команду? В соответствии с условием задачи, двое мальчиков войдут в команду сразу. Следовательно, остается отобрать трех мальчиков из восьми. При этом важен только состав, так роли всех членов команды не различаются. Это значит, что мы имеем дело с сочетаниями. Сочетаниями из $n$ элементов по $m$ называются комбинации, состоящие из $m$ элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, но не порядком расположения элементов. Количество сочетаний вычисляется по формуле $C_{n}^{m} =\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!} $. Таким образом, количество различных способов формирования команды в количестве трех мальчиков, выбирая их из восьми мальчиков - это число сочетаний из 8 элементов по 3: $C_{8}^{3} =\frac{8!}{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$ Пример № 3.
На полке в кабинете в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по алгебре. Преподаватель берет наудачу три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг окажется по алгебре. Событие $A$ (хотя бы одна из взятых трех книг - книга по алгебре) и $\bar{A}$ (ни одна из взятых трех книг не является книгой по алгебре) - противоположные, поэтому Р(А) + Р($\bar{A}$) = 1. Отсюда Р(А) = 1-Р($\bar{A}$). Таким образом, искомая вероятность Р(А) = 1 - $C_{10}^{3} \, /C_{15}^{3} \, $= 1 - 24/91 = 67/91. Пример № 4.
Из двадцати акционерных обществ четыре являются иностранными. Гражданин приобрел по одной акции шести акционерных обществ. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями иностранных акционерных обществ? Общее число комбинаций выбора акционерных обществ равно числу сочетаний из 20 по 6, то есть ${\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} $. Число благоприятствующих исходов определяется как произведение ${\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $, где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора иностранных акционерных обществ из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться акционерные общества, не являющиеся иностранными. Число комбинаций таких акционерных обществ будет ${\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $. Поэтому искомая вероятность запишется в виде ${\rm P}=\frac{{\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} }{{\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} } =0,28$. Пример № 5.
В партии из 18 деталей находятся 4 нестандартных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся нестандартными. Число всех равновозможных несовместных исходов $n$ равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. $n=C_{18}^{5} =8568$. Подсчитаем число исходов $m$, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 стандартных и 2 нестандартных. Число способов выборки двух нестандартных деталей из 4 имеющихся нестандартных равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_{4}^{2} =6$. Число способов выборки трех стандартных деталей из 14 имеющихся стандартных равно $C_{14}^{3} =364$. Любая группа стандартных деталей может комбинироваться с любой группой нестандартных деталей, поэтому общее число комбинаций $m$ составляет $m=C_{4}^{2} \cdot C_{14}^{3} =6\cdot 364=2184$. Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов $m$, благоприятствующих событию, к числу $n$ всех равновозможных и несовместных событий $P(A)=\frac{2184}{8568} =0,255.$ Пример № 6.
В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы один белый шар. Пусть событие $ $ - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Рассмотрим противоположное событие $\bar{}$ - среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные. Используем формулы комбинаторики. Количество способов вынуть четыре шара из одиннадцати: $n=!_{11}^{4} =\frac{11!}{4!\cdot (11-4)!} =330$ Количество способов вынуть четыре черных шара из одиннадцати: $m=!_{5}^{4} =\frac{5!}{4!\cdot (5-4)!} =5$ Получаем: $\; (\bar{})=\frac{m}{n} =\frac{5}{330} =\frac{1}{66} $; $P(A)=1-\; (\bar{A})=1-\frac{1}{66} =\frac{65}{66} $. Ответ: вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого равна $\frac{65}{66} $. Классическое определение вероятности
Вероятность
- одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Вероятность
есть число, характеризующее степень возможности появление того или иного события. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием).
Обозначения: …, Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими.
Пример:
В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 – черные, 6- белые. Событие - из урны извлекается белый шар. Число благоприятствующих исходов, в которых из урны будут извлекаться белые шары, равно 4-м. Отношение числа благоприятствующих событию элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события; обозначение В нашем примере Вероятностью события
называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, где число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; число всех возможных элементарных исходов испытания. Свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.
2. Вероятность невозможного события равно нулю, т.
е. 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.
е. или С учетом свойств 1 и 2, вероятность любого события удовлетворяет неравенству
4
. Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества элементов произвольной природы. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них. Перестановками
называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок где Пример.
Число трехзначных чисел, когда каждая цифра входит в изображение трехзначного числа только один раз, равно Размещениями
называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Пример.
Число сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2: Сочетаниями
называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний Пример.
Число способов выбора двух деталей из ящика, содержащего 10 деталей: Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством При решении задач комбинаторики используют следующие правила: Правило суммы
.
Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами. Правило произведения
.
Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами. Относительная частота
также
является основным понятием теории вероятностей. Относительной частотой
события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний и определяется формулой где число появлений события в испытаниях, общее число испытаний. Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем, что определение вероятности не требует проведения испытаний, а определение относительной частоты предполагает фактическое проведение испытаний. Длительные наблюдения показывают, что при проведении опытов в одинаковых условиях, относительная частота обладает свойством устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных сериях опытов относительная частота испытаний от серии к серии изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события. Классическое определение вероятности имеет некоторые недостатки: 1) число элементарных исходов испытания конечно, на практике это число может быть и бесконечным; 2) очень часто результат испытания невозможно представить в виде совокупности элементарных событий; По этим причинам наряду с классическим определением вероятности используют статистическое определение: в
качествестатистической вероятности события принимают относительную частоту.
Размещено на реф.рф
опр-я вер-ти В частности, статистическое:
В качестве статистической вер-ти события принимают относит. частоту или число близкое к ней.
Классическое определение вероятности
Относительная частота и её устойчивость
Принято, что 
,
